Generalised Elements on Sheaves and Applications in Spectral Domain Decomposition

Diese Dissertation entwickelt einen einheitlichen abstrakten Rahmen für spektrale Domänendekompositionsmethoden und ermöglicht damit Mehrgitterlöser für eine breite Klasse partieller Differentialgleichungen. Durch die Einführung sogenannter geeigneter Prägarben – einer Verallgemeinerung von Funktionenräumen, die lokale Strukturen erfasst – werden verallgemeinerte Elemente definiert, die auf natürliche Weise eine rekursive Hierarchie bilden. Dies liefert eine systematische Grundlage für mehrstufige spektrale Methoden, einschließlich verallgemeinerter Varianten von GenEO und MS-GFEM. Der abstrakte Rahmen umfasst stetige und unstetige Finite-Elemente-Diskretisierungen und enthält eine umfassende Konvergenzanalyse sowohl für additive als auch für hybride Schwarz-Methoden. Numerische Experimente zu heterogener Diffusion, linearer Elastizität und der Helmholtz-Gleichung bestätigen die Robustheit, Skalierbarkeit und das theoretisch vorhergesagte Konvergenzverhalten.