Geometric Invariants and Asymptotics of Translation Surfaces

Indem man Polygone auf wohldefinierte Weise entlang paralleler Kanten zusammenfügt, erhält man Translationsflächen, die zweidimensionale Mannigfaltigkeiten mit reichen geometrischen Strukturen sind. Diese Arbeit untersucht die Geometrie auf Translationsflächen mit dem Fokus, die Eigenschaften zufälliger Translationsflächen mit hohem Geschlecht zu verstehen, um den Modulraum der Translationsflächen allgemeiner zu begreifen. Eine der Hauptherausforderungen in diesem Bereich besteht darin, die Lücke zwischen endlichen und unendlichen Translationsflächen zu überbrücken, die dem kompakten und nicht-kompakten Fall entsprechen. Wir gehen diese Herausforderung an, indem wir die Konvergenz von Folgen endlicher Translationsflächen aus verschiedenen Strata untersuchen und unendliche Translationsflächen mit ihnen approximieren. Wir verwenden verschiedene Methoden, um diese Approximation zu erreichen. Einerseits nutzen wir eine Form von Konvergenz in der zugrundeliegenden Veech-Gruppe, um uns unendlichen Translationsflächen zu nähern; andererseits möchten wir geometrische Invarianten für Translationsflächen mit hohem Geschlecht verstehen. Hierzu erforschen wir das Verhalten der Cheeger-Konstante, ein Maß für das Inverse der Größe der Engstelle auf einer Fläche. Durch die Weiterentwicklung bestehender Konstruktionen, die Einführung neuer Perspektiven und die Analyse zentraler geometrischer Invarianten erweitert diese Arbeit unser Verständnis von Translationsflächen für zukünftige Forschungen.