Statistical (Non)linear Inverse Problems with Unknown Structures: From Deconvolution to Dynamical Systems

Die vorliegende Arbeit untersucht statistische Verfahren für drei Klassen schlecht gestellter inverser Probleme. In allen Modellen liegen Beobachtungen als verrauschte Versionen einer transformierten, jedoch unbekannten Zielgröße vor. Ziel ist es, Schätzverfahren für diese Größe zu entwickeln und deren statistische Präzision mathematisch zu quantifizieren. Im ersten Teil betrachten wir statistische Entfaltungsprobleme in einem multiplikativen Messfehlermodell, in dem sowohl die Dichte des Signals als auch die der Messfehler unbekannt ist. Dies führt zu einem linearen inversen Problem mit unbekanntem Operator. Auf Basis spektraler Regularisierung konstruieren wir Schätzer und analysieren deren lokales und globales Risiko. Zudem entwickeln wir ein datengetriebenes Verfahren zur Wahl des Regularisierungsparameters sowie obere Schranken für das orakelartige Risiko. Der zweite und dritte Teil behandeln Regressionsmodelle, deren Regressionsfunktionen durch die Lösungen gewöhnlicher oder partieller Differentialgleichungen beschrieben werden. Diese werden an deterministischen oder zufälligen Stützpunkten ausgewertet und nur verrauscht beobachtet. Ziel ist die Rekonstruktion unbekannter Parameter der zugrunde liegenden Differentialgleichung. Aufgrund der typischerweise nichtlinearen Lösungsabbildung handelt es sich dabei um schlecht gestellte nichtlineare inverse Probleme. Im zweiten Teil untersuchen wir sowohl einen penalisierten Kleinste-Quadrate-Ansatz als auch einen bayesianischen Zugang. Im Unterschied zur bestehenden Literatur analysieren wir beide Verfahren unter milder Fehlspezifikation von Modellkomponenten wie dem Lösungsoperator oder der Messfehlerverteilung. Wir zeigen die Konsistenz des fehlspezifizierten Kleinste-Quadrate-Schätzers sowie die Kontraktion der A-posteriori-Verteilung um den wahren Parameter. Die abstrakten Resultate werden auf Regressionsmodelle angewendet, die durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Dabei betrachten wir insbesondere das Darcy-Problem und die zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen, wobei wir obere Schranken für Vorhersage- und Schätzfehler herleiten. Im dritten Teil untersuchen wir die Minimax-Optimalität solcher Schranken. Wir betrachten autonome gewöhnliche Differentialgleichungen und konzentrieren uns auf die Schätzung des zugrunde liegenden Vektorfeldes. Nach der Diskussion geeigneter Beobachtungsschemata zur Sicherstellung der Identifizierbarkeit leiten wir untere Schranken für den Schätzfehler her und zeigen die Minimax-Optimalität bestehender Verfahren.