Stratified Topological Data Analysis: Theory, Methods and Applications in Image Patch Spaces

Singuläre Räume haben in verschiedenen Anwendungen an Bedeutung gewonnen, was das Interesse an der Untersuchung stratifizierter Strukturen unter Verwendung von Methoden der topologischen Datenanalyse (TDA) geweckt hat. Obwohl die persistente Homologie ein grundlegendes Konzept in der TDA ist, erfordern ihre Einschränkungen bei der Unterscheidung stratifizierter Räume die Entwicklung alternativer Invarianten. Um diesem Problem zu begegnen, schlagen wir ein neuartiges Framework vor, deren Eigenschaften denen der persistenten Homotopietypen ähneln und für TDA-Anwendungen entscheidend sind. Darüber hinaus präsentieren wir vollständig implementierbare Methoden, die es uns ermöglichen, Stratifizierungen von einer großen Klassen an stratifizierten Räumen aus nicht-stratifizierten Daten zu approximieren. Zusätzlich führen wir zwei berechenbare Maße für Singularität ein, die auf Erkenntnissen über lokaler persistenter Homologie und Hausdorff-Distanz basieren. Des Weiteren untersuchen wir image patch spaces und bieten neue Perspektiven und eine Neubewertung bestehender Modelle, insbesondere hinsichtlich potenzieller stratifizierter Strukturen.